已知正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，E为棱CC 1 的动点．

（1）证明：连接AC，BD，设AC∩BD=O，连接A ₁ O，OE，
在等边△A ₁ BD中，BD⊥A ₁ O，
∵BD⊥A ₁ E，A ₁ O⊂平面A ₁ OE，A ₁ O∩A ₁ E=A ₁ ，
∴BD⊥平面A ₁ OE，
于是BD⊥OE，
∴∠A ₁ OE是二面角A ₁ -BD-E的平面角，
在正方体ABCD-A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ 中，设棱长为2a，
∵E是棱CC ₁ 的中点，
∴由平面几何知识，得 EO=
3 a ， A 1 O=
6 a ，A ₁ E=3a，
满足 A 1 E 2 = A 1 O 2 + EO 2 ，
∴∠A ₁ OE=90°，即平面A ₁ BD⊥平面EBD．
（2）在正方体ABCD-A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ 中，
假设棱CC ₁ 上存在点E，可以使二面角A ₁ -BD-E的大小为45°，
由（1）知，∠A ₁ OE=45°，
设正方体ABCD-A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ 的棱长为2a，EC=x，
由平面几何知识，得EO=
2a 2 + x 2 ， A 1 O=
6 a ， A 1 E=
8 a 2 +(2a-x ) 2 ，
∴在△A ₁ OE中，由 A 1 E 2 = A 1 O 2 + EO 2 -2 A 1 O•EO•cos∠ A 1 OE ，
得x ² -8ax-2a ² =0，
解得 x=4a±3
2 a ，
∵ 4a+3
2 a＞2a，4a-3
2 a＜0 ，
∴棱OC ₁ 上不存在满足条件的点．