探究与证明-几何题如图,以△ABC的三边为边,在BC的同侧作三个等边△ABD、△BEC、△ACF.(1)判断四边形ADE

问题①：四边形ADEF是平行四边形
理由：∵△ABD和△EAC都是等边三角形
∴∠ABD=∠EBC=60° BD=AB BE=BC
∴∠ABD-∠EBA =∠EBC-∠EBA 即∠DBE =∠ABC
∴△DBE≌△ABC
∴DE=AC
∵△ACF是等边三角形,AC=AF
∴DE=AF
同理：EF=AD
∴四边形ADEF是平行四边形
问题②：当△ABC满足∠BAC=150°时,四边形ADEF是矩形.
理由：∠BAC=150°,∠BAD=∠CAF=60°得∠DAF=360°-60°-60°-150°=90°
由①四边形ADEF是平行四边形
所以四边形ADEF是矩形
问题③：当△ABC满足AB=AC且∠BAC≠60°时,四边形ADEF是菱形
理由：由AB=AD,AC=AF,AB=AC得AD=AF
由①四边形ADEF是平行四边形
所以四边形ADEF是菱形.(之所以∠BAC≠60°是因为当∠BAC=60°时,∠DAF=360°-60°-60°-60°=180°.即D、A、F三点共线,四边形ADEF不存在)
问题④：当△ABC满足∠BAC=150°,AB=AC时,四边形ADEF是正方形
理由：由问题②知当△ABC满足∠BAC=150°时,四边形ADEF是矩形；由AB=AC,所以四边形ADEF是正方形