为什么tan(45°+a) = (tan45° + tana) / (1 - tan45° * tana)
这个等式是三角函数中一个非常经典且重要的公式——两角和的正切公式的直接应用。其一般形式为：tan(α + β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanα * tanβ)。当我们令公式中的α = 45°，β = a时，便得到了标题中的具体等式。因此，理解这个等式的关键在于理解两角和正切公式的由来与逻辑。
公式的推导与逻辑
两角和的正切公式并非凭空产生，它源于正弦和余弦的两角和公式。我们知道，根据定义，tan(α+β) = sin(α+β) / cos(α+β)。而sin(α+β) = sinα cosβ + cosα sinβ，cos(α+β) = cosα cosβ - sinα sinβ。将两者相除，便得到tan(α+β) = (sinα cosβ + cosα sinβ) / (cosα cosβ - sinα sinβ)。为了将其转化为只包含正切的形式，我们将分子和分母同时除以cosα cosβ（前提是cosα和cosβ均不为零），于是得到：tan(α+β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanα tanβ)。这个推导过程清晰地展示了公式的内在统一性，它将复杂的和角三角函数关系，简洁地表达为单个三角函数（正切）的运算。
具体代入与验证
现在，我们将α=45°，β=a代入通用公式。首先，我们知道tan45°是一个特殊值，等于1。将其代入公式右侧：(tan45° + tana) / (1 - tan45° * tana) = (1 + tana) / (1 - 1 * tana) = (1 + tana) / (1 - tana)。因此，整个等式告诉我们：tan(45° + a) 的值恒等于 (1 + tana) / (1 - tana)。这个结论在三角恒等变换、化简求值以及解三角方程中非常有用。例如，当我们需要计算tan75°时，可以将其视为tan(45°+30°)，然后利用此公式轻松算出结果。总之，这个看似特殊的等式，是通用数学公式的一个完美实例，体现了数学从一般到特殊的优美与力量。