证明有关三角形边长的不等式设a,b,c是三角形的三条边长,求证8/5>a^2/(a^2+b^2)+b^2/(b^2+c^

由于这个不等式次数较高且为分式,所以其初等方法计算量较大,见谅
先介绍三角形中的常用公式：
1在三角形ABC中,恒有cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1
2对于任意角A,恒有(sinA)^2=1/[1+(cotA)^2]
以上两式证明极其简单,略.
由三角形正玄定理,
8/5>a^2/(a^2+b^2)+b^2/(b^2+c^2)+c^2/(c^2+a^2)>7/5
8/5>(sinA)^2/[(sinA)^2+(sinB)^2]+(sinB)^2/[(sinB)^2+(sinC)^2]+(sinC)^2/[(sinC)^2+(sinA)^2]>7/5
根据上面介绍的三角公式2,原不等式进一步转化为
8/5>[(cotB)^2+1]/[(cotA)^2+(cotB)^2+2]+[(cotC)^2+1]/[(cotB)^2+(cotC)^2+2]+[(cotA)^2+1]/[(cotC)^2+(cotA)^2+2]>7/5
为了书写简便,设cotA=x cotB=y cotC=z
原题目转化为
已知：xy+yz+zx=1
求证：8/5>(y^2+1)/(x^2+y^2+2)+(z^2+1)/(y^2+z^2+2)+(x^2+1)/(z^2+x^2+2)>7/5
因为x^2+1=x^2+xy+yz+zx=(x+y)(x+z)
y^2+1=y^2+xy+yz+zx=(y+z)(y+x)
z^2+1=z^2+xy+yz+zx=(z+x)(z+y)
所以带入原式消元可得,只需证：
8/5>(y+z)/(x+y+2z)+(z+x)/(y+z+2x)+(x+y)/(z+x+2y)>7/5
下面证明(y+z)/(x+y+2z)+(z+x)/(y+z+2x)+(x+y)/(z+x+2y)>7/5
通分消去相同项可等价转化得：
x^3+y^3+z^3+8xyz+(x^2y+y^2z+z^2x)+6(xy^2+yz^2+zx^2)>0...(1)
当原三角形为锐角三角形时,x,y,z>0此时(1)式显然成立
当原三角形为钝角三角形时,不妨设x0
则将（1）式中x用y,z代换,x=(1-yz)/(y+z)易得(1)式成立
同理可证8/5>(y+z)/(x+y+2z)+(z+x)/(y+z+2x)+(x+y)/(z+x+2y)
所以原不等式得证
对于提问者的疑问,我在下面补充过程,但由于过程复杂,我只能尽可能的详细,见谅
将（1）式中x用y,z代换,然后在不等式两边同乘以(y+z)^3,得：
(1-yz)(y+z)^2+(y+z)^4+(1-yz)^3+(y^3+z^3)*(y+z)^3+5y^2(1-yz)(y+z)^2+5yz^2(y+z)^3+
5yz(1-yz)(y+z)^2+(1-yz)^2(z)(y+z)>0
合并同类项并展开消项,得：
y^6+z^6+1+6yz^3+18y^3z+20y^2z^2+z^4+6y^2+y^2+2z^2+14y^4z^2+2y^3z^3+8yz^5>7y^2z^4+2y^5z
则y^6+z^6+1+6yz^3+18y^3z+20y^2z^2+z^4+6y^2+y^2+2z^2+14y^4z^2+2y^3z^3+8yz^5>(y^6+y^4z^2)+
(2y^3z^3+8yz^5)>2y^5z+8y^2z^4>2y^5z+7y^2z^4
得证

原式为齐次轮转多项式
设
X＝a^2/(a^2+b^2)+b^2/(b^2+c^2)+c^2/(c^2+a^2)
Y＝b^2/(a^2+b^2)+c^2/(b^2+c^2)+a^2/(c^2+a^2)
X+Y=3
要证|X-Y|<1/5即可
即要证
1/5>|(a^2－b^2)/(a^2+b^2)+(b^2-c^2)/(b^2+c^2)+(c...

这个题样子长得挺一般的，做起来很难阿
近似取等条件确实是
a＝3.6511c
b=2.6511c
但这个式子不能“所以不妨设a>=b>=c ”
另一端的取等条件恰好是b＝3.6511c
a=2.6511c
如果不妨设了a>b>c就得不到这个关系了
从答案看，a,b,c的关系即没有趋近于0的，也不是算术平均，几何平均，倒数平均，平方...

用“特殊值法”来证明！这是最简单的方法，也是数学中解决问题的方法之一。
方法是：任意取三个数，只要这三个数的值满足“两边和大于第三边，两边和小于第三边，即能组成三角形”即可。然后把数值带入证明不等式成立即可。如取数值“3、4、5”或“3、5、7”等...

这个题目非常巧妙，请注意：8/5+7/5=3这个有趣的条件
假设a<=b<=c
设x=a^2/(a^2+b^2)+b^2/(b^2+c^2)+c^2/(c^2+a^2)
要证明8/5要证明x<8/5很复杂，其实只需要证明x<=3/2<8/5就很容易了
同样证明x>7/5
其实这个题...

设a,b,c是三角形的三条边长，求证8/5>a^2/(a^2+b^2)+b^2/(b^2+c^2)+c^2/(c^2+a^2)>7/5
a,b,c全为正数就没什么说的了
方程组一
a+b>a a*a + b*b + 2ab >a*a
b+c>b b*b+ c*c+ 2bc > b*b
a+c>c c*c+ a*a+ 2ac > c*...