设函数f（x）=[exex+3，g（x）=-2x2+ax-lnx（a∈R）

解题思路：（Ⅰ）由函数g（x）在区间（[1/4]，2）上不单调且g′(x)＝

−4x2+ax−1

x

知，-4x²+ax-1=0区间(

1

4

，2)上有两不等实根或有一根，即a＝4x+

1

x

区间(

1

4

，2)上有两不等实根或有一根，再研究函数ϕ(x)＝4x+

1

x

，x∈(

1

4

，2)即可．
（Ⅱ）对f（x）求导，计算其值域为（3，4]，令h（x）=g（x）+2x²=ax-lnx，m=f（x），则问题转化为：∀m∈（3，4]，存在唯一的x0∈[e−4，e]，使得h（x₀）=m成立．再对h（x）求导，h′(x)＝a−

1

x

＝

ax−1

x

，x∈[e−4，e]，分为a≤

1

e

，a≥e⁴和[1/e＜a＜e4三种情况分别讨论，从而进一步求解．

（1）∵g′(x)＝−4x2+ax−1x且g（x）在区间(14，2)上不单调，∴-4x2+ax-1=0区间(14，2)上有两不等实根或有一根，即a＝4x+1x区间(14，2)上有两不等实根或有一根，令ϕ(x)＝4x+1x，ϕ（x）在区间(14，12)上单调递减，...

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题的第一小问中，也可以用以下思路：假设g（x）在(14，2)上单调，则g′(x)＝−4x2+ax−1x]≥0或g′(x)＝−4x2+ax−1x≤0恒成立，注意到x的范围，x＞0，即只需-4x2+ax-1≥0或-4x2+ax-1≤0对x∈(14，12)恒成立，求解出a的范围，再取其补集即可．问题二的解答再次提醒广大考生“转化”思想的重要性，将问题逐步转化，使我们的问题逐步明朗化，从而寻求解决方法．