直接证明Weierstrass 聚点定理,即不使用实数六大定理中的其他五条中的任意一条,从基本定义出发直接对其进行证明

六大条的本质是说明实数的完备性.
如果不用那六大条,那直少要用到度量空间的完备性.
如果不用度量空间的完备性,也要用实数其它意义下的完备性.
没有实数是完备的这个前题,
这个定理已经被证明是证不出来的,
你可以去查相关文献.
用有限覆盖的证法：
一定存在[a,b]包含A.
那么A中如果有据点必在[a,b]内.
反证假设A中没有聚点.
那么对任意的x属于[a,b],
都存在一个x的领域,x的临域内至多只有x一个点.
于是当x跑遍[a,b]就找到了一个无限开覆盖：
所以,存在一个有限覆盖.假设其为x1,x2,.xn.
每个覆盖内最多仅有1个A中的点.这一堆覆盖也才至多有n个,
与A是无穷集矛盾.于是证明了.