已知函数 f(x)=lg 2x ax+b ，f(1)=0 ，当x＞0时，恒有 f(x)-f( 1 x )=lgx

（1）∵当x＞0时， f(x)-f(
1
x )=lgx 恒成立
∴ lg
2x
ax+b -lg
2
bx+a =lgx ，
即（a-b）x ² -（a-b）x=0恒成立，
∴a=b（2分）
又f（1）=0，即a+b=2，从而a=b=1，
∴ f(x)=lg
2x
1+x （4分）
（2）由不等式f（x）≤lgt，
即 lg
2x
1+x ≤lgt⇒
(2-t)x-t
1+x ≤0 且
2x
1+x ＞0 （6分）
由于解集A⊆（0，4]，故0＜t＜2，（7分）
所以 A=(0，
t
2-t ]⊆(0，4] 即
t
2-t ≤4⇒t≤
8
5 ，（8分）
又因为0＜t＜2，所以实数t的取值范围是 (0，
8
5 ] （10分）
（3）由 lg
2x
1+x =lg(8x+m) ⇒


2x
1+x =8x+m

2x
1+x ＞0 ⇒

8 x 2 +(6+m)x+m=0
x＜-1或x＞0 （12分）
方程的解集为∅，故有两种情况：
①方程8x ² +（6+m）x+m=0无解，即△＜0，得2＜m＜18（14分）
②方程8x ² +（6+m）x+m=0有解，两根均在[-1，0]内，g（x）=8x ² +（6+m）x+m
则

△≥0
g(-1)≥0
g(0)≥0
-1≤
-6-m
16 ≤0 ⇒

m≤2或m≥18
-6≤m≤10 ⇒0≤m≤2 （17分）
综合①②得实数m的取值范围是0≤m＜18（18分）