证明：m*n矩阵A和B等价＜＝＞r(A)=r(B).

设矩阵A,B等价,所以 存在可逆矩阵P,Q,使得 B=PAQ
由于P可逆,因此,矩阵A与PA有相同的秩
而Q可逆,因此,矩阵PA与PAQ有相同的秩,即矩阵 A与B有相同的秩.
这就证明了：m*n矩阵A和B等价＝＞r(A)=r(B).
设 r(A)=r(B)=r
记C为如下的m*n矩阵,其左上角为一r阶单位矩阵,其它为0
Er 0
0 0.
于是 存在可逆矩阵 P,Q使得 PAQ=C,
同样 存在可逆矩阵 R,S使得 RBS=C.
因此 PAQ=RBS
B=R的逆*PAQ*S的逆,由于R的逆*P 与 Q*S的逆 都是可逆矩阵,于是 A与B等价.
这就证明了：r(A)=r(B).＝＞矩阵A和B等价.

A和B同型，

先证必要性：
两者等价，即它俩能由初等变换相互得到，而矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，从而r(A)=r(B)

再证充分性：
令r(A)=r(B)=r，且矩阵的初等变换不改变矩阵的秩

知A、B均等价于同一个等价标准型，其1的个数为r，由等价的传递性知A和B等价...