（2003•江苏）设a＞0，如图，已知直线l：y=ax及曲线C：y=x2，C上的点Q1的横坐标为a1（0＜a1＜a）．从
（2003•江苏）设a＞0，如图，已知直线l：y=ax及曲线C：y=x2，C上的点Q1的横坐标为a1（0＜a1＜a）．从C上的点Qn（n≥1）作直线平行于x轴，交直线l于点Pn+1，再从点Pn+1作直线平行于y轴，交曲线C于点Qn+1．Qn（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{an}．（Ⅰ）试求an+1与an的关系，并求{an}的通项公式；
（Ⅱ）当a＝1，a1≤
| 1 |
| 2 |
| n |
 |
| k＝1 |
| 1 |
| 32 |
（Ⅲ）当a=1时，证明
| n |
|
| k−1 |
| 1 |
| 3 |
赞 秋天的思雨 幼苗
共回答了17个问题采纳率：94.1% 举报
解题思路：（Ⅰ）根据Qn，Pn+1，Qn+1的坐标进而求得an+1＝
•
，进而通过公式法求得{an}的通项公式．
（Ⅱ）把a=1代入an+1＝
•
，根据a1≤
可推断a2≤
，a3≤
，由于当k≥1时，ak+2≤a3≤
．进而可知(ak−ak+1)ak+2≤
(ak−ak+1)＝
(a1−an+1)＜
．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当a=1时，an＝
代入
(ak−ak+1)ak+2中，进而根据
(ak−ak+1)ak+2≤
(
−
)
证明原式．
| 1 |
| a |
| a | 2 n |
（Ⅱ）把a=1代入an+1＝
| 1 |
| a |
| a | 2 n |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 16 |
| 1 |
| 16 |
| 1 |
| 16 |
| 1 |
| 16 |
| 1 |
| 32 |
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当a=1时，an＝
| a | 2n−1 1 |
| n |
 |
| k−1 |
| n |
|
| k＝1 |
| 2n−1 |
|
| i＝1 |
| a | 1 i |
| a | 1 i+1 |
| a | 1 2i+2 |
（Ⅰ）∵Qn(an，
a2n)，Pn+1(
1
a•
a2n，
a2n)，Qn+1(
1
a•
a2n，
1
a2
a4n)．
∴an+1＝
1
a•
a2n，
∴an＝
1
a•
a2n−1＝
1
a(
1
a•
a2n−2)2＝(
1
a)1+2
a22n−2
=(
1
a)1+2(
1
a•
a2n−3)22＝(
1
a)1+2+22
a23n−2
=(
1
a)1+2+…+2n−2
a2n+11＝(
1
a)2n−1−1
a2n−11＝a(
a1
a)2n−1，
∴an
点评：
本题考点： 数列递推式；不等式的证明．
考点点评： 本小题主要考查二次函数、数列、不等式等基础知识，综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力，
1年前
9
可能相似的问题
你能帮帮他们吗