如图所示，在长方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，AB=1，BC=2，CC 1 =5，M为棱CC 1 上一

（1）过点M作MN ∥ C ₁ D，交D ₁ D于N，连接A ₁ N，
则∠A ₁ MN或其补角就是异面直线A ₁ M和C ₁ D ₁ 所成角
在Rt△A ₁ NM中，AB=1，A ₁ N=
2 2 +(
3
2 ) 2 =
5
2
∴tan∠A ₁ MN=
A 1 N
MN =
5
2
由此可得，当 C 1 M=
3
2 时，异面直线A ₁ M和C ₁ D ₁ 所成角的正切值为
5
2 ；
（2）∵A ₁ B ₁ ⊥平面BB ₁ C ₁ C，BM⊆平面BB ₁ C ₁ C，
∴A ₁ B ₁ ⊥BM，
因此可得：只要B ₁ M⊥BM，就有BM⊥平面A ₁ B ₁ M．
假设存在M点，使得BM⊥平面A ₁ B ₁ M，设C ₁ M=x
则矩形BB ₁ C ₁ C中，B ₁ M⊥BM，所以∠MB ₁ C ₁ =∠MBB ₁
∴Rt△B ₁ MB ∽ Rt△MB ₁ C ₁ ，所以
C 1 M
B 1 M =
B 1 M
B 1 B
∴B ₁ M ² =B ₁ B•C ₁ M，可得4+x ² =5x，解之得x=1或4
∴当C ₁ M的长为1或4时，存在点M使得BM⊥平面A ₁ B ₁ M．