zhangqinghon 幼苗
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(Ⅰ)f′(x)=x(ex-2k),
①若k≤0,令f′(x)=0,解得:x=0,
x>0时,f′(x)>0,x<0时,f′(x)<0,
∴x=0是f(x)的极小值点,不合题意;
②若0<k<[1/2],令f′(x)=0,解得:x=0或x=ln(2k),ln(2k)<0,
∴f(x)在(-∞,ln(2k)),(0,+∞)递增,在(ln(2k),0)递减,
∴x=0是函数f(x)的极小值点,不合题意;
③若k=[1/2],f′(x)=x(ex-1),
x>0时,f′(x)>0,x<0时,f′(x)>0,
x=0时,f′(x)=0,
∴f(x)在R上递增,f(x)没有极值点;
④若k>[1/2],令f′(x)=0,解得:x=0或x=ln(2k),ln(2k)>0,
∴f(x)在(-∞,0),(ln(2k),+∞)递增,在(0,ln(2k))递减,
∴x=0是f(x)的极大值点.
(Ⅱ)令g(k)=ln(2k)-k,则g′(k)=[1−k/k]≥0,
∴g(k)在([1/2],1]上递增,
∴g(k)≤ln2-1<0,
∴ln(2k)<k,
∴ln(2k)∈[0,k],
由(Ⅰ)中④可知当x=ln(2k)时,f(x)取到最小值为:
f(ln(2k))=-kln2(2k)+2kln(2k)-2k.
点评:
本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的极值.
考点点评: 本题考查了函数的单调性,函数的最值问题,考查导数的应用,分类讨论思想,是一道综合题.
1年前
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