已知动点P（x，y）（y≥0）到定点F（0，1）的距离和它到直线y=-1的距离相等，记点P的轨迹为曲线C。
| 已知动点P（x，y）（y≥0）到定点F（0，1）的距离和它到直线y=-1的距离相等，记点P的轨迹为曲线C。 （1）求曲线C的方程； （2）设圆M过点A（0，2），且圆心M（a，b）在曲线C上，若圆M与x轴的交点分别为E（x 1 ，0）、 G（x 2 ，0），求线段EG的长度。 |
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（1）依题意知，曲线C是以F（0，1）为焦点，y=-1为准线的抛物线，
∵焦点到准线的距离p=2，
∴曲线C的方程是
。
（2）∵圆M的半径为
，
∴其方程为
，
令y=0，得
，
则
，
，
∴
，
又∵点M（a，b）在抛物线
上，
∴
，
∴
，即
，
∴线段EG的长度是4。
∵焦点到准线的距离p=2，
∴曲线C的方程是
。（2）∵圆M的半径为
， ∴其方程为
，令y=0，得
，则
，
， ∴
，又∵点M（a，b）在抛物线
上，∴
，∴
，即
，∴线段EG的长度是4。
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