（2014•福州模拟）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），顶点为D．

解题思路：（1）将已知点的坐标代入到二次函数的解析式，利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；
（2）过点G作GF⊥x轴，垂足为F．设点G坐标为（m，m²-4m+3），进而得到点D（2，-1），利用勾股定理的逆定理得到△CBD是直角三角形，利用正切函数的定义得到AF=3GF，从而得到-3（m²-4m+3）=m-1，求得m的值即可得到点G的坐标；
（3）根据点D的坐标为（2，-1）得到△ABD是等腰直角三角形，从而确定圆心E是线段AB的中点，即E（2，0），半径为1，设P（x₁，y₁）（1＜x₁＜3，y₁≠0），M（3，y₀），作PF⊥x轴，F为垂足．根据点A、P、M三点在一条直线上，得到

|y0|

|y1|

=

2

x1−1

，从而求解．

（1）由抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B、C，可得：


c＝3
a+b+c＝0，9a+3b+c＝0，
解得：

a＝1
b＝−4，c＝3，
∴抛物线的解析式为y=x²-4x+3．

（2）过点G作GF⊥x轴，垂足为F．设点G坐标为（m，m²-4m+3），
∵点D（2，-1），
又∵B（3，0），C（0，3），
∴由勾股定理得：CD=2
5，BD=
2，BC=3
2，
∵CD²=BC²+BD²，
∴△CBD是直角三角形，
∴tan∠GAF=tan∠BCD=[1/3]．
∵tan∠GAF=[GF/AF]=[1/3]，
∴AF=3GF，
即-3（m²-4m+3）=m-1，
解得：m₁=1（舍去），m₂=[8/3]．
∴点G的坐标为（[8/3]，-[5/9]）．

（3）∵点D的坐标为（2，-1），
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴圆心E是线段AB的中点，即E（2，0），半径为1，
设P（x₁，y₁）（1＜x₁＜3，y₁≠0），M（3，y₀），作PF⊥x轴，F为垂足．
∵点A、P、M三点在一条直线上，
∴
|y0|
|y1|=[2
x1−1，即|y0|＝
2|y1|
x1−1．
∴tan∠MEB=
|y0|/EB]=
2|y1|
x1−1，
∵AB为直径，
∴∠APB=90°，
∴∠PBA=∠APF，
∴tan∠PBA=tan∠APF=
x1−1
|y1|，
∴tan∠MEB•tan∠PBA=
2|y1|
x1−1•
x1−1
|y1|=2．
另同上，连接PE，
∵PE=1，PF=|y₁|，EF=|x₁-2|，
在Rt△PEF中，根据勾股定理得：（x₁-2）²+y12=1，
即1-（x₁-2）²=y12，…（12分），
∵tan∠PBA=
|y1|
3−x1，…（13分）
∴tan∠MEB•tan∠PBA=
2y12
−(x12−4x1+3)＝
2y12
1−(x1−2)2=2．

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 此题考查了抛物线解析式的确定等二次函数的综合知识，（2）（3）小题中，都用到了分类讨论的数学思想，难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏．