如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E、F分别是AB、CD上的点，且BE=DF，连接BF、DE．

解题思路：（1）根据矩形的对边平行可得AB∥CD，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）设AE=x，表示出BE，再根据菱形的四条边都相等可得DE=BE，然后在Rt△ADE中，利用勾股定理列出方程求解即可；
（3）过点E作AC的对称点E′，连接BE′，根据轴对称确定最短路线问题，BE′与AC的交点即为所求的点P，PB+PE=BE′，利用勾股定理列式求出AC，再根据∠BAC的正弦求出EE′，过点E′作E′H⊥AB于H，解直角三角形求出EH、E′H，然后求出BH，再利用勾股定理列式计算即可得解．

（1）证明：∵在矩形ABCD中，AB∥CD，
∴BE∥DF，
又∵BE=DF，
∴四边形DEBF是平行四边形；

（2）设AE=x时四边形DEBF是菱形，则BE=4-x，
∵四边形DEBF是菱形，
∴DE=BE=4-x，
在Rt△ADE中，AD²+AE²=DE²，
即2²+x²=（4-x）²，
解得x=[3/2]，
故，AE=[3/2]时，四边形DEBF是菱形；

（3）如图，过点E作AC的对称点E′，连接BE′，BE′与AC的交点即为所求的点P，
此时，PB+PE=BE′，
由勾股定理得，AC=
22+42=2
5，
EE′=2•AE•sin∠BAC=2×[3/2]×
2
2
5=
3
5
5，
过点E′作E′H⊥AB于H，
则EH=EE′sin∠AEE′=
3
5
5×
4
2
5=

点评：
本题考点： 矩形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定．

考点点评： 本题考查了矩形的性质，菱形的判定，平行四边形的判定与性质，轴对称确定最短路线问题，解直角三角形，难点在于（3）确定出点P的位置并作辅助线构造出直角三角形．