如图所示,设P是抛物线C 1 :x 2 =y上的动点,过点P作圆C 2 :x 2 +(y+3) 2 =1的两条切线,交直
| 如图所示,设P是抛物线C 1 :x 2 =y上的动点,过点P作圆C 2 :x 2 +(y+3) 2 =1的两条切线,交直线l:y=-3于A、B两点.  (1)求圆C 2 的圆心M到抛物线C 1 准线的距离; (2)是否存在点P,使线段AB被抛物线C 1 在点P处的切线平分?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. |
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（1）
（2）存在点P满足题意,点P的坐标为(±
,2
)
解:(1)因为抛物线C 1 的准线方程为y=-
,
所以圆心M到抛物线C 1 的准线的距离为
= .
(2)设点P的坐标为(x 0 ,
),抛物线C 1 在点P处的切线交直线l于点D.
再设A,B,D的横坐标分别为x A ,x B ,x D ,
过点P(x 0 , )的抛物线C 1 的切线方程为
y- =2x 0 (x-x 0 ).①
当x 0 =1时,过点P(1,1)与圆C 2 相切的直线PA的方程为
y-1=
(x-1).
可得x A =-
,x B =1,x D =-1,x A +x B ≠2x D .
当x 0 =-1时,过点P(-1,1)与圆C 2 相切的直线PB的方程为y-1=- (x+1),
可得x A =-1,x B = ,x D =1,x A +x B ≠2x D ,
所以 -1≠0.
设切线PA、PB的斜率为k 1 ,k 2 ,
则PA:y- =k 1 (x-x 0 ),②
PB:y- =k 2 (x-x 0 ),③
将y=-3分别代入①②③得
x D =
(x 0 ≠0),
x A =x 0 -
,
x B =x 0 -
(k 1 ,k 2 ≠0),
∴x A +x B =2x 0 -( +3)（
+
）.
又
=1,
即( -1)
-2( +3)x 0 k 1 +( +3) 2 -1=0.
同理,( -1)
-2( +3)x 0 k 2 +( +3) 2 -1=0.
∴k 1 、k 2 是方程( -1)k 2 -2( +3)x 0 k+( +3) 2 -1=0的两个不相等的根,
从而k 1 +k 2 =
,
k 1 ·k 2 =
.
因为x A +x B =2x D ,
所以2x 0 -(3+ )（ + ）=
,
即 + =
.
从而
（2）存在点P满足题意,点P的坐标为(±
,2
) 解:(1)因为抛物线C 1 的准线方程为y=-
,所以圆心M到抛物线C 1 的准线的距离为
= .(2)设点P的坐标为(x 0 ,
),抛物线C 1 在点P处的切线交直线l于点D.再设A,B,D的横坐标分别为x A ,x B ,x D ,
过点P(x 0 ,
)的抛物线C 1 的切线方程为y-
=2x 0 (x-x 0 ).①当x 0 =1时,过点P(1,1)与圆C 2 相切的直线PA的方程为
y-1=
(x-1).可得x A =-
,x B =1,x D =-1,x A +x B ≠2x D .当x 0 =-1时,过点P(-1,1)与圆C 2 相切的直线PB的方程为y-1=-
(x+1),可得x A =-1,x B =
,x D =1,x A +x B ≠2x D ,所以
-1≠0.设切线PA、PB的斜率为k 1 ,k 2 ,
则PA:y-
=k 1 (x-x 0 ),②PB:y-
=k 2 (x-x 0 ),③将y=-3分别代入①②③得
x D =
(x 0 ≠0),x A =x 0 -
,x B =x 0 -
(k 1 ,k 2 ≠0),∴x A +x B =2x 0 -(
+3)（
+
）.又
=1,即(
-1)
-2( +3)x 0 k 1 +( +3) 2 -1=0.同理,(
-1)
-2( +3)x 0 k 2 +( +3) 2 -1=0.∴k 1 、k 2 是方程(
-1)k 2 -2( +3)x 0 k+( +3) 2 -1=0的两个不相等的根,从而k 1 +k 2 =
,k 1 ·k 2 =
.因为x A +x B =2x D ,
所以2x 0 -(3+
)（ + ）=
,即
+ =
.从而
1年前
1
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1年前2个回答
你能帮帮他们吗