求详细回答为什么可以这样改写?

你的问题就是不定积分和变上限定积分的关系?
若f(x)连续, 定义F(x) = ∫{0,x} f(t)dt, 可知F'(x) = f(x).
因此F(x)就是f(x)的一个原函数, 由不定积分的定义有:
∫ f(x)dx = F(x)+C = ∫{0,x} f(t)dt +C.
注意不定积分是一族相差常数的函数, 所以不要遗漏常数C.
而如果用不定积分写一阶线性方程的通解公式, 可以将常数C纳入不定积分中.
对本题就是e^(-kx)∫ f(x)e^(kx)dx, 换用变上限积分写的话就是e^(-kx)(C+∫{0,x} f(t)e^(kt)dt).
另外, "当f(x)连续时, ∫{0,x} f(t)dt是f(x)的一个原函数", 这个关系是非常基本的.
早在边限积分求导公式之前, Newton-Leibniz公式的证明中就用到了.
所以在这里用变上限定积分表示不定积分并不是很特别的想法.