已知函数 （x∈R，p 1 ，p 2 为常数），函数f（x）定义为：对每个给定的实数x， 。

已知函数 （x∈R，p ₁ ，p ₂ 为常数），函数f（x）定义为：对每个给定的实数x， 。
（1）求f（x）=f ₁ （x）对所有实数x成立的充分必要条件（用p ₁ ，p ₂ 表示）；
（2）设a，b是两个实数，满足a＜b且p ₁ ，p ₂ ∈（a，b），若f（a）=f（b），求证：函数 f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为 （闭区间[m，n]的长度定义为n-m）。
（1）由f（x）的定义可知，f（x）=f ₁ （x）（对所有实数x）等价于f ₁ （x）≤f ₂ （x）（对所有实数x），这又等价于
即3 ^{|x-p ₁ |-|x -p ₂ |} ≤2对所有实数x均成立 （*）
易知函数|x-p ₁ |-|x-p ₂ |（x∈R）的最大值为|p ₂ -p ₁ |
故（*）等价于
这就是所求的充分必要条件。
（2）分两种情形讨论：
（i）当 时，由（1）知f（x）=f ₁ （x）（对所有实数x∈[a，b]），
则由f（a）=f（b）及a＜p ₁ ＜b易知
再由f ₁ （x） 的单调性可知，f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度为
如图所示。
（ii）当 时，不妨设p ₁ ＜p ₂ 则
于是，当x≤p ₁ 时，有
从而f（x）=f ₁ （x）
当x≥p ₂ 时
从而
当p ₁ ＜x＜p ₂ 时，
由方程
解得f ₁ （x）与f ₂ （x）图象交点的横坐标为

显然
这表明x ₀ 在p ₁ 与p ₂ 之间，由①易知

综上可知，在区间[a，b]上
如图所示
故由函数f ₁ （x）与f（x）的单调性可知，f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为（x ₀ -p ₁ ）+（b-p ₂ ）
由于f（a）=f（b），即 得
故由①、②得

综合（i）、（ii）可知，f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为 。