（2014•静安区一模）（理）已知函数f（x）=loga[x−1/x+1]（其中a＞0且a≠1），g（x）是f（x）的反

（2014•静安区一模）（理）已知函数f（x）=log_a[x−1/x+1]（其中a＞0且a≠1），g（x）是f（x）的反函数．
（1）已知关于x的方程log_a[m(x+1)(7−x)

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解题思路：（1）依题意知，m=（x-1）（7-x），故求实数m的取值范围，就是求m=（x-1）（7-x）在x∈[2，6]上的值域，利用二次函数的单调性可求得m的取值范围为[5，9]；
（2）利用函数奇偶性的定义可判断f（-x）=-f（x），知为奇函数，再任取1＜x₁＜x₂，令t（x）=[x−1/x+1]，利用单调性的定义可知t（x₁）-t（x₂）＜0，利用复合函数的单调性即可判断当0＜a＜1时，f（x）在（-∞，-1）上是减函数；
（3）g（x）=

1+ax

1−ax

，a=[1/1+p]，p≥1，当0＜a≤[1/2]时，1＜g（1）=[1+a/1−a]=1+[2/p]≤3＜5，由二项式定理（1+p）^k=1+

p¹+…+

p^k得：b_k≤1+[2

-1+

k(k+1)

=1+

4/k]-[4/k+1]，从而可证得结论．

（1）由

m
(x+1)(7−x)＞0

x−1
x+1＞0

m
(x+1)(7−x)＝
x−1
x+1转化为求函数m=（x-1）（7-x）在x∈[2，6]上的值域，
该函数在[2，4]上递增，在[4，6]上递减，
∴m的最小值5，最大值9．
∴m的取值范围为[5，9]．
（2）f（x）=log_a[x−1/x+1]的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），
定义域关于原点对称，又f（-x）=log_a[−x−1/−x+1]=loga
x+1
x−1，即f（-x）=-f（x），
∴函数f（x）为奇函数．
下面讨论在（1，+∞）上函数的增减性．
任取1＜x₁＜x₂，令t（x）=[x−1/x+1]，则t（x₁）-t（x₂）=
x1−1
x1+1-
x2−1
x2+1=
2(x1−x2)
(x1+1)(x2+1)，
因为1＜x₁＜x₂，
∴t（x₁）-t（x₂）=
2(x1−x2)
(x1+1)(x2+1)＜0，
又当0＜a＜1时，y=log_ax是减函数，
∴log_at（x₁）＞log_at（x₂）．由定义知在（1，+∞）上函数是减函数．
又因为函数f（x）是奇函数，所以在（-∞，-1）上函数也是减函数．
（3）∵g（x）=
1+ax
1−ax；
因为a=[1/1+p]，p≥1，
∴0＜a≤

点评：
本题考点：二项式定理的应用．

考点点评：本题考查二项式定理的应用，着重考查函数的奇偶性、复合函数的单调性与最值，考查转化思想与放缩法的综合应用，属于难题．

1年前

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