设A为n阶实矩阵,且对于任意的x属于R^(n),有x^(T)Ax=0.那么A为零矩阵.对的话,请给出证明,不对给出反例.

什么若比邻 1年前 已收到2个回答 举报
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forme2poonon 幼苗

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对的.
取xi = (0,..,0,1,0,...0) -- 第i个分量为1,其余为0
则 xi^TAxi = aii = 0,i=1,2,...,n
取 xij = (0,...,0,1,0,...,0,1,0,...,0) -- 第i,j个分量为1,其余为0
则 xij^TAxij = aij + aji = 2aij = 0,i,j=1,2,...,n
所以 A为零矩阵

1年前

4

你们还真狠真狠 幼苗

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结论不成立.
最简单的反例是A =
0 1
-1 0
对任意x = (a,b)', 有x'Ax = (a,b)A(a,b)' = (-b,a)(a,b)' = -ab+ab = 0.
实际上, 对任意x都成立x'Ax = 0的充要条件是A反对称.
充分性: 由x'Ax = (x'Ax)' = x'A'x = -x'Ax, 故x'Ax = 0.

1年前

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