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阿_lone
如果正弦和角公式都没学, 其实不太适合看这个证明. 这里仅介绍一下用到的公式, 证明就不说了. 二倍角公式: sin2A = 2sinAcosA. 积化和差公式(之一): 2sinAcosB = sin(A+B)+sin(A-B). 差化积公式: sinA-sinB = 2sin((A-B)/2)cos((A+B)/2), cosA-cosB = 2sin((B-A)/2)sin((A+B)/2). 接前文, 去分母得sin2βsin(β+2γ)-sin2γsin(2β+γ) = 0. 用二倍角公式展开sin2β与sin2γ即得: 2sinβcosβsin(β+2γ)-2sinγcosγsin(2β+γ) = 0. 对cosβsin(β+2γ)积化和差得: 2sin(β+2γ)cosβ = sin(2(β+γ))+sin2γ. 同理2sin(2β+γ)cosγ = sin(2(β+γ))+sin2β. 代回得sinβ(sin(2(β+γ))+sin2γ)-sinγ(sin(2(β+γ))+sin2β) = 0. 即sin(2(β+γ))(sinβ-sinγ)+sinβsin2γ-sinγsin2β = 0. 再用二倍角: sinβsin2γ-sinγsin2β = 2sinβsinγ(cosγ-cosβ). 于是有sin(2(β+γ))(sinβ-sinγ)+2sinβsinγ(cosγ-cosβ) = 0. 由差化积, sinβ-sinγ = 2sin((β-γ)/2)cos((β+γ)/2). 而cosγ-cosβ = 2sin((β-γ)/2)sin((γ+β)/2). 代回得2sin((β-γ)/2)·(sin(2(β+γ))cos((β+γ)/2)+2sinβsinγsin((γ+β)/2)) = 0. 由0 < 2(β+γ) < 180°, 0 < β, γ < 90°, 0 < (β+γ)/2 < 90°, 可知sin(2(β+γ))cos((β+γ)/2)+2sinβsinγsin((γ+β)/2) > 0. 于是sin((β-γ)/2) = 0, 又-90° < (β-γ)/2 < 90°, 只有(β-γ)/2 = 0, 即β = γ. 因此∠B = 2β = 2γ = ∠C, 即有AB = AC.