设随机变量X和Y对联和分布是正方形G={（x，y）|1≤x≤3，1≤y≤3}上的均匀分布，试求随机变量U=|X-Y|的概

【解法1】
由已知条件可得，X和Y的联合密度为：
f（x，y）=


1
41≤x≤3， 1≤y≤3
0其他，
设U=|X-Y|的分布函数为F（u），
①当u≤0时，F（u）=0，
②当u≥2时，F（u）=1，
③当0＜u＜2时，
F（u）=
∬
|x−y|≤uf（x，y）dxdy=
∬
|x−y|≤u
1
4dxdy=[1/4[4−(2−u)2]=1-
1
4(2−u)2．
于是，随机变量U的概率密度为：
ρ（u）=F′（u）=


1
2(2−u)0＜u＜2
0其他]．

【解法2】
因为X和Y的联和分布是正方形G={（x，y）|1≤x≤3，1≤y≤3}上的均匀分布，
所以：-2≤x-y≤2，
即有：|x-y|≤2，
故当u＜0或者u＞2时，ρ（u）=0，
当0＜u＜2时，
ρ（u）=
∫+∞−∞ρX(x)(ρY(u+x)+ρY(x−u))dx
=
∫3−u1ρX(x)ρY(x+u)dx+
∫3u+1ρX(x)ρY(x−u)
=[1/4]

点评：
本题考点： 二维均匀分布的概率密度；二维均匀分布的分布函数．

考点点评： 本题考查了随机变量U=|X-Y|的概率密度的计算方法．计算随机变量的概率密度的常用方法是：先计算随机变量的分布函数，然后求导计算其概率密度．