evae_果子 花朵
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证明:令f(x)=ex−1−x−
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2x2,
则f'(x)=ex-1-x,
再令g(x)=f'(x),则g'(x)=ex-1,
∵x>0,∴ex-1>0,即g'(x)>0,
∴g(x)在[0,+∞)上为增函数,
由于x>0,则g(x)>g(0)=e0-1=0,即f'(x)>0,
∴f(x)在[0,+∞)上为增函数,
由x>0知,f(x)>f(0)=e0−1−0−
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2×02=0,
即ex-(1+x+[1/2]x2)>0,
∴ex>1+x+[1/2]x2,得证.
点评:
本题考点: 不等式的证明.
考点点评: 1.当求证不等式是由几个基本初等函数构成的比较复杂的条件不等式,可考虑通过构造新的函数,利用导数研究函数的单调性,从而达到证明的目的.
2.利用导数证明不等式是近几年高考的热点之一,证明f(x)>g(x)的一般步骤是:
(1)构造函数h(x)=f(x)-g(x);
(2)求h'(x);
(3)判断h(x)的单调性;
(4)求h(x)的最小值或值域;
(5)证明[h(x)]min>0成立;
(6)得出结论.
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