设函数f（x）=ax2+bx+[3/4]在x=0处取得极值，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线2x

解题思路：（Ⅰ）因为”函数在x=0处取得极值“，则有f ′(0)＝0，再由“曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线2x+4y-9=0相互垂直”，
则有f ′(1)＝2，从而求解；
（Ⅱ）利用微积分基本定理来求曲线y=f（x）和直线2x+4y-9=0所围成的封闭图形的面积；
（Ⅲ）由（Ⅰ）可得到：g(x)＝

ex

x2+ 3 4

，令g ′(x)＝0，有x²-2x+[3/4]=0，
则由其两根来构建单调区间求出极值，只需使m大于极小值且小于极大值即可．

（Ⅰ）因f（x）=ax²+bx+[3/4]，故f′（x）=2ax+b
又f（x）在x=0处取得极限值，故f ′(0)＝0，从而b=0
由曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线2x+4y-9=0相互垂直可知该切线斜率为2，
即f ′(1)＝2，有2a=2，从而a=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x²+[3/4]，
联立直线与曲线方程得到x=-[3/2]或x=1
故曲线y=f（x）和直线2x+4y-9=0所围成的封闭图形的面积为
S＝
∫1−
3
2(−
1
2x+
9
4)−(x2+
3
4)dx=
∫1−
3
2(−x2−
1
2x+
3
2)dx
=(−
1
3x3−
1
4x2+
3
2x)
|1−
3
2＝
125
48；
（Ⅲ）g ′(x)＝
ex•(x2+
3
4)−2x•ex
(x2+
3
4)2=
ex•(x2−2x+
3
4)
(x2+
3
4)2
令g ′(x)＝0，得到x1＝
1
2，x2＝

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题主要考查导数的几何意义，函数的极值及函数的单调性．综合性较强，充分考查了函数方程不等式三者的内在联系与转化．