求线性方程组的通解（需要过程）
求解线性方程组的通解，是线性代数中的核心问题。其核心思想是：首先判断方程组是否有解，若有解，则求出一个特解，再求出对应齐次方程组的基础解系，最终通解即为“特解+齐次通解”。具体过程通常分为三步：第一步，将方程组的增广矩阵通过初等行变换化为行最简形；第二步，根据行最简形判断解的情况（无解、唯一解或无穷多解）；第三步，对于无穷多解的情况，确定自由未知量，并分别求出特解和齐次通解。
具体求解过程示例
考虑一个具体方程组：x1 + 2x2 - x3 = 1；2x1 + 4x2 - 2x3 = 2。首先写出增广矩阵并化简：[[1,2,-1,1],[2,4,-2,2]] → 第二行减去第一行的2倍 → [[1,2,-1,1],[0,0,0,0]]。得到行最简形，秩r=1，未知数n=3，故有无穷多解。对应同解方程组为：x1 = 1 - 2x2 + x3。选择x2, x3为自由未知量，令其分别为c1, c2。则通解可写为：[x1, x2, x3]^T = [1-2c1+c2, c1, c2]^T = [1,0,0]^T + c1*[-2,1,0]^T + c2*[1,0,1]^T。其中[1,0,0]^T是原方程的一个特解，而后两项的线性组合则是对应齐次方程（右端项全为0）的通解，[-2,1,0]^T和[1,0,1]^T构成基础解系。
通过以上系统化的步骤，我们可以清晰地求解任何线性方程组的通解。关键在于矩阵的化简、自由未知量的合理选取，以及对“特解”与“齐次解”结构的理解。掌握这一过程，对于深入学习线性空间、特征值等概念至关重要。