如图,三角形ABC是等边三角形,D,F分别是BC,AB上的点,且CD=BF,以AD为边作等边三角形ADE.

点D在BC中点时,四边形CDEF是平行四边形,且∠DEF=30° 证明：∵设点D在BC中点∴AD是△ABC的中线∴AD平分∠BAC又∵△ABC是等边三角形∴∠BAD＝∠CAD＝1/2∠BAC＝30°
∵CD＝BF AC＝BC ∠ACD＝∠CBF ∴△ADC全等于△CFB（SAS）又∵△ADE是等边三角形
∴∠ADE＝60°∵∠ADB＝90°∴∠EDB＝30°∵BF＝CD＝BD＝1/2BC＝1/2AB∴FC平分∠ACB
∴∠FCB＝60°＝∠EDB∴ED平行于FC又∵AD为△DE的边∴EF平分∠AED∴∠FED＝30°＝∠EDB∴EF平行于DC∴四边形CDEF是平行四边形∴∠DEF＝∠FCD=30°∴点D在线段BC的中点时,四边形CDEF是平行四边形,且∠DEF=30°

因为在平行四边形EFCD中角FED=30度，所以角FCD=30度。又三角形ABC是等边三角形，所以角B=60度，所以角BFC=90度，所以BF=1/2AB，所以DC=AF=1/2BC，所以当点D为BC的中点时四边形EFCD为平行四边形，且角FED=30度。