设y=kx+1与双曲线4x^2-y^2=1交于A,B两点,k为何值时OA垂直OB?

szm1983 1年前 已收到4个回答 举报
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xueliang0528 幼苗

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两方程消去y(4-k^2)x^2-2kx-2=0
Δ>0 得到-4√2

1年前

3

shmily永远 幼苗

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因为直线与双曲线有交点，则交点满足方程组:
y=kx+1
4x^2-y^2=1
解之得：x=0或x=2k/(4-k)
因为OA垂直OB，所以当x=2k/(4-k)时y=0，即x=±1/2
所以k=4/5或k=-4、3

1年前

2

cherrycat 幼苗

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(secx/(√3),tanx)
sinx1×sinx2=-1/3……①
sinx1-cosx1=2k/(√3)=sinx2-cosx2……②
②²得到sinx1cosx1=sinx2cosx2
sin²x1+sin²x2=1
sinx1=(√3+√15)/6
cosx1=(√15-√3)/6
把这两个值代入②
k=1/2

1年前

2

_gys8928ct0cdf_ 幼苗

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这样好理解
线变换:y/x-k=1/x
曲线变换:4-(y/x)^2=(y/x)^2
代入,化简:2(y/x)^2-2k(y/x)+k^2-4=0
交点A(x1,y1)B(x2,y2) ,其斜率(y1/x1),(y2/x2)
垂直,相乘为-1，(y1y2）/（x1x2)=-1=（k^2-4）/2
解k=±√2

1年前

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