线性代数矩阵若AB=BA,AC=CA,证明：A,B,C是同阶矩阵,且A(B+C)=(B+C)A,A(BC)=(BC)A

证明：
由于A和B能做乘法,所以A的列数=B的行数,否则矩阵乘法无法进行.
同样B和A也能做乘法,所以B的列数=A的行数.
设A是m*n矩阵,则B一定是n*m矩阵.
那么AB就是m*m矩阵,BA就是n*n矩阵.
由AB=BA可知m=n.
所以A和B是同阶方阵.
同理：A和C也是同阶方阵.
根据左乘分配律和右乘分配律及题目的AB=BA,AC=CA,可知
A(B+C)=AB+AC=BA+CA=(B+C)A
根据乘法结合律和题目的AB=BA,AC=CA,可知
A(BC)=(AB)C=(BA)C=B(AC)=B(CA)