△ABC中 ∠C=2∠B 求证:AB2-AC2=AC·BC

证明：从A做AD⊥BC,做AE=AC交BC于E
RT△ABD中,AB²=BD²+AD²
RT△ACD中,AC²=CD²+AD²
所以AB²-AC²
=（BD²+AD²）-（CD²+AD²）
=BD²-CD²
=（BD+CD）（BD-CD）
△ACE中,AC=AE,所以∠C=∠AEC
AD为等腰三角形ACE底边上的高,所以DE=CD
∠AEC为△AEB外角,因此∠AEC=∠B+∠BAE
因为∠C=2∠B,所以∠AEC=2∠B,∠B=∠BAE
因此AE=BE=AC
AB²-AC²
=（BD+CD）（BD-CD）
=BC×（BD-DE）
=BC×BE
=BC×AC

在△ABC中 ∠C=2∠B 求证:AB2-AC2=AC•BC 。如下图。

证明：1、作辅助线：

1）、过A作AD⊥BC于垂足D，在DB上取DE=DC，连结EA；

2）、过E作EF⊥AB于垂足F；

3）、旋转△ACD至AEF处，则点C与点E重合，点D与点F重合。

2、证明

∵AD=AD，DC=DE，∠ADC=∠ADE=90°

∴△ACD≌△AED，∴AE=AC，∠EAD=∠CAD，∠C=∠AED，显然△AEC是等腰△。

又旋转△ACD至AEF处，可知：EF=CD=ED，AF=AD，AE=AE，三边相等，得△AEF≌△AED。

∴∠EAD=∠EAF=∠CAD。

已知：∠C=2∠B，而∠C=∠AED，∴∠AED=2∠B，另∠AED=∠B+∠BAE，则可知∠B=∠EAF，由此可得：△EAB为等腰△。∴AE=BE=AC。

综上，∠B=∠EAF=∠EAD=∠CAD。即，∠A=3∠B；又已知：∠C=2∠B，所以在△ABC中，内角和为∠A +∠B+ ∠C= 180°，即3∠B+∠B+2∠B=6∠B=180°，所以：∠B=30°，∠A=90°∠C=60°。显然，△AEC是等边△：得AC=CE=AE=BE，AB=BE+EC=2AC

至此，设AC=1，则BC=2，在RT△ABC中，根据勾股定理：AB²=BC²-AC²

=4-1=3

所以，AB²-AC²

=3-1=2；而AC•BC=1×2=2。等式成立。

即：AB²-AC²

=AC•BC。

证明完毕。