记函数f（x）=ln（1+x），g（x）=x．

解题思路：（1）先根据F（x）=aln（x+1）+x²，求得F′（x）=

a

1+x

+2x，根据F′（1）=0，可以求出a的值；
（2）通过对G（x）求导，再研究导数的分子对应的二次函数根的分布，在aob坐标系中作出符合题意的不等式组对应的平面区域，通过求界点的方法，可找出a的取值范围；
（3）对H（x）求导，得到一个分式函数，再研究此函数的分子对应的函数，发现此函数的最大值为零，从而得出函数H（x）在区间[0，+∞）上单调递减，再结合题意得a≥|H（x）_max-H（x）_min|，从而得出a的取值范围．

（1）由F（x）=aln（x+1）+x²，可得F′（x）=
a/1+x+2x，根
由题意得F′（1）=0，即
a
2+2＝0，故a=-4；
（2）G（x）=aln（x+1）+x²-bx （x＞-1），
求得 G′（x）=
2x
2 +(2−b)x+(a−b)
1+x]
令分子为h（x）=2x²+（2-b）x+（a-b），由题意得：

h(1)＝a−2b+4≥0
h(0)＝a−b≤0
h(−
3
5) ＝a−
2b
5−
12
25≤0
h(−
4
5) ＝a−
1
5b−
8
25≥ 0
化简得：

a−2b+4≥0
a−b≤0
25a−10b−12≤0
25a−5b−8≥0，

由图可得A(
2
5，
8
5) ，B(
8
5，
14
5)，由此可得a∈[
2
5，
8
5]
（3）由H（x）=
1
ln(1+x)−
1
x

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值；简单线性规划．

考点点评： 本题考查了利用导数工具研究函数的单调性与极值，求函数在闭区间上的最值问题，同时考查了含有二次和对数函数的零点的分布问题，综合性较强，属于难题．利用数形结合与分类讨论思想是解决本题的关键．