（2013•怀化三模）已知各项均为正数的数列{an}满足an+12 =2an2+anan+1，且a2+a4=2a3+4，

解题思路：（I）由数列{a_n}满足a_n+1² =2a_n²+a_na_n+1，数列是正项数列，可得2a_n-a_n+1=0，进而得到数列{a_n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，求出数列的通项公式；
（Ⅱ）由数列c_n=

(n+1)2+1

n(n+1)an+2

为正项数列，故n=1时，S_n取最小值[5/16]，利用放缩法，求出S_n的最大值，可得答案．

（Ⅰ）∵a² _n+1=2a²_n+a_na _n+1，
∴（a_n+1+a_n）（2a_n-a_n+1）=0
∵数列是正项数列，
∴a_n+1+a_n≠0，即2a_n-a_n+1=0
∴
an+1
an＝2
∵a₂+a₄=2a₃+4，
∴2a₁+8a₁=8a₁+4，
∴a₁=2
即数列{a_n}是以2为首项，以2为公比的等比数列
∴a_n=2×2^n-1=2ⁿ；
证明：（Ⅱ）c_n=
(n+1)2+1
n(n+1)an+2=
(n+1)2+1
n(n+1)•2n+2＞0
∴当n=1时，S_n取最小值[5/16]，
当n≥2时，n²＞2，c_n=
(n+1)2+1
n(n+1)•2n+2＜[1
2n+1
∴S_n＜

1/4
1−
1
2]=[1/2]
故[5/16≤Sn＜
1
2]．

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．

考点点评： 本题考查的知识点是数列的通项公式，数列求和，是数列与不等式的综合应用，综合性强，运算难度大，属于难题．