f(x)的一个原函数是ln(1+x),求∫sinxf(cosx) dx.请给出解题过程.

假设x>0，如果我们要求自然对数lnx的导数，用定义， ln(x+h)-lnx =ln[(x+h)/x] =ln(1+h/x) =(h/x)ln(1+h/x)^(x/h) 所以 [ln(x+h)-lnx]/h =(1/x)ln(1+h/x)^(x/h) 令h趋于0并取极限得 (lnx)' =(1/x)ln[lim_{h趋于0}((1+h/x)^(x/h))] =(1/x)lne =1/x 这里用到(1+a)的1/a次方当a趋于0时为e，而e的自然对数lne=1. 故1/x的一个原函数是lnx，所有的原函数是lnx+常数C。 在上式中用1+x代替x，得到ln(1+x)的导数为1/(1+x)，故由f(x)的一个原函数是ln(1+x)知f(x)=1/(1+x)。 一般最好记住一些常用的函数的导数，这样看见这些函数的导数，才能知道原函数是什么。下面是一些基本的初等函数导数公式： y=f(x)=c (c为常数),则f'(x)=0 f(x)=x^n (n不等于0) f'(x)=nx^(n-1) (x^n表示x的n次方) f(x)=sinx f'(x)=cosx f(x)=cosx f'(x)=-sinx f(x)=a^x f'(x)=a^xlna(a>0且a不等于1,x>0) f(x)=e^x f'(x)=e^x f(x)=logaX f'(x)=1/xlna (a>0且a不等于1,x>0) f(x)=lnx f'(x)=1/x (x>0) f(x)=tanx f'(x)=1/cos^2 x f(x)=cotx f'(x)=- 1/sin^2 x 导数运算法则如下 (f(x)+/-g(x))'=f'(x)+/- g'(x) (f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) (g(x)/f(x))'=(f(x)'g(x)-g(x)f'(x))/(f(x))^2