兰炫 幼苗
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(1)∵f(x)+f(y)=f(x+y),
∴令x=y=0,得f(0)+f(0)=f(0),
∴f(0)=0,
再令y=-x,得f(x)+f(-x)=f(0)=0,
∴y=f(x)是R上的奇函数;
(2)令x1<x2,
∵f(x+y)=f(x)+f(y),且y=f(x)是R上的奇函数,
∴f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1),
∵x1<x2,
∴x2-x1>0,
∵当x>0时,f(x)<0,
∴f(x2-x1)<0,
∴f(x2)-f(x1)<0,
即f(x1)>f(x2),
∴y=f(x)是R上的减函数;
(3)∵f(x+y)=f(x)+f(y),
∴f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1),
∵f(1)=-[2/3],
∴f(3)=3f(1)=3×(-[2/3])=-2,
又y=f(x)是R上的奇函数,
∴f(-3)=-f(3)=2,
∵y=f(x)是R上的减函数,
∴y=f(x)在[-3,3]上单调递减,
∴当x=-3时,f(x)取得最大值f(-3)=2,
当x=3时,f(x)取得最小值f(3)=-2,
∴f(x)在[-3,3]上的最大值为2,最小值为-2.
点评:
本题考点: 抽象函数及其应用;函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断.
考点点评: 本题考查了抽象函数及其应用,函数单调性的判断与证明,函数的最值问题.函数单调性的判断与证明,注意一般单调性的证明选用定义法证明,证明的步骤是:设值,作差,化简,定号,下结论.本题证明函数单调性的关键是运用恒等式进行合理的转化.利用函数的单调性去掉“f”,转化为具体不等式进行求解.属于中档题.
1年前
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1年前2个回答
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已知函数f(x)=x2+ax+11/x+1若对于任意的x∈N
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你能帮帮他们吗