（2014•福建模拟）如图，过曲线C：y=e-x上一点P0（0，1）做曲线C的切线l0交x轴于Q1（x1，0）点，又过Q

（2014•福建模拟）如图，过曲线C：y=e^-x上一点P₀（0，1）做曲线C的切线l₀交x轴于Q₁（x₁，0）点，又过Q₁做x轴的垂线交曲线C于P₁（x₁，y₁）点，然后再过P₁（x₁，y₁）做曲线C的切线l₁交x轴于Q₂（x₂，0），又过Q₂做x轴的垂线交曲线C于P₂（x₂，y₂），…，以此类推，过点P_n的切线l_n与x轴相交于点Q_n+1（x_n+1，0），再过点Q_n+1做x轴的垂线交曲线C于点P_n+1（x_n+1，y_n+1）（n=1，2，3，…）．
（1）求x₁、x₂及数列{x_n}的通项公式；
（2）设曲线C与切线l_n及垂线P_n+1Q_n+1所围成的图形面积为S_n，求S_n的表达式；
（3）若数列{S_n}的前n项之和为T_n，求证：

Tn+1

＜

xn+1

（n∈N⁺）．

liudx11 1年前已收到1个回答举报

可乐100 幼苗

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解题思路：（1）先求出导函数进而求出切线的斜率，再把1，2代入就可求出求x₁、x₂的值．求出点P_n的切线l_n的方程即可求出及数列{x_n}的通项公式；
（2）直接利用定积分来求S_n的表达式即可；
（3）利用（2）的结论先求出数列{S_n}的前n项之和为T_n，再把所要证明的结论转化为用数学归纳法证明eⁿ⁺¹＞（e-1）n+e即可

（1）y′=-e^-x，设l_n的斜率为k_n，则kn＝−e−xn
∴l₀的方程为：y=-x+1，令y=0得x₁=1，∴y₁=-e^-1P₁（1，e^-1），k1＝−e−x1＝−e−1
∴l₁的方程为：y-e^-1=-e^-1（x-1），令y=0得x₂=2，
一般地，l_n的方程为：y−e−xn＝−e−xn(x−xn)，由Q_n+1（x_n+1，0）∈l_n
得：x_n+1-x_n=1，∴x_n=n （4分）
（2）Sn＝
∫n+1ne−xdx−
1
2(xn+1−xn)yn＝−e−x
|n+1n−
1
2yn＝(−e−n−1+e−n)−
1
2e−n
=[e−2/2e•
1
en]（8分）
（3）Tn＝
e−2
2e•(
1
e1+
1
e2++
1
en)＝
e−2
2e•

1
e[1−(
1
e)n]
1−
1
e＝
e−2
2e(e−1)•(1−
1
en)
Tn+1
Tn＝
1−
1
en+1
1−

点评：
本题考点：数列与函数的综合；定积分在求面积中的应用；数列与不等式的综合．

考点点评：一般在作数列与函数的综合题时，多用到数学归纳法的应用，所以要把这几个知识点掌握好．

1年前

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