设两数x和y的平方和为7，它们的立方和为10，则x+y的最大值为______．

解题思路：根据完全平方公式和立方和公式，得x²+y²=（x+y）²-2xy=7，x³+y³=（x+y）（x²-xy+y²）=10，将x+y作为整体代入，再根据二次函数的最值问题得出答案即可．

根据题意得，x²+y²=（x+y）²-2xy=7①，
x³+y³=（x+y）（x²-xy+y²）=10②，
由①得，xy=
(x+y)2−7
2③，
把①③代入②得，
设x+y=t，x²+y²=（x+y）²-2xy=t²-2xy=7，∴xy=
t2−7
2①，
∴x³+y³=（x+y）（x²-xy+y²）=t³-3txy=10②，
把①代入②，t³-3t×[1/2]（t²-7）=10，
即t³-21t+20=0，解得 t=-5或1或4，
显然最大值是4．

点评：
本题考点： 函数最值问题．

考点点评： 本题考查了函数的最值问题，利用完全平方公式和立方和公式将已知条件转化，将x+y作为整体，再得出函数的最值是解题的关键．

x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)
(x+y)(7-xy)=10
10=(x+y)7-(x+y)xy>=(x+y)7-(x+y)^3/4
令x+y=t
t^3/4-7t<=10
t^3/4-7t-10<=0
利用求导 可算出t极大值