多元函数微分中做题时遇到“两边求微分”,请问两边不是同时对x求导怎么也行呢?

多元函数微分中做题时遇到“两边求微分”,请问两边不是同时对x求导怎么也行呢?
比如：xe^x-ye^y=ze^z,两边求微分得：(1+x)e^xdx-(1+y)e^ydy=(1+z)e^zdz.我知道隐函数两边求导时是把y当做中间变量,这我会求.但是两边求微分,同时对x,y,z都求导了,怎么可以这样做呢?是根据什么呢?听老师讲了一句好像是根据微分形式不变性,但是具体的能给讲讲吗?

喜儿的乖 1年前已收到2个回答举报

ljxgg_2004 幼苗

共回答了16个问题采纳率：100% 举报

你不该把微分跟求导完全划等号啊,求导是求微分形式每个d之前的系数,所以求导之后还是一个函数,而微分之后就是一个微分形式了.而微分形式不变性直观上理解就是求微分之后不管后面是dx还是dy还是dz,都可以把x,y,z本身看做是自变量,然后是对自变量求微分,即使z是y与x的函数等等.这也是可以两边同时求微分的基础.

1年前追问

喜儿的乖举报

可能基础薄弱吧，听得稀里糊涂的，我想可不可以这样理等式左边为u，等式右边为v，那么就是u=v，然后两边求微分，就是du=dv，右边当然是直接对z求导了，左边是多元函数，所以是偏导数*dx+偏导数*dy。但是这样想也不知道对不对，也不知道是根据什么。

举报 ljxgg_2004

这样讲吧，右边对ze^z对z求导得到(1+z)e^z，于是右边关于z的微分形式就是(1+z)e^zdz，右边你也可以写成关于x，y的微分形式，这时候，你就是把z=z(x,y)带进去，然后z=z(x,y)微分，得到dz=z_xdx+z_ydy也带进去。这个式子就是关于x跟y的微分形式了，应该跟左边的关于x，y的微分形式相等。

Forrest 春芽

共回答了1个问题举报

我写的图片传不上去。文字简单表述一下吧。你那个两边同时对x求导，是得到的Z(x y)对x的偏导。同时微分得到的是z（x，y）全微分。那问题来了。书上没有隐函数可以同时微分的理论依据呀，怎么可以隐函数两边可以同时微分呢？

这样理解问题就迎刃而解了。

将隐函数一侧看成 F(x y z)，一个三元函数。隐函数等号右边一般为常数，也就是F(xyz)=0. 现在让你求F的全微分，按照定义是先得到一个又一个的偏导然后乘上各自变量的微分符号。但其实这样的效果和整体微分的效果一样，自己试一下就能看出来。然后又因为F的函数恒等与常数，各个偏导数为o，因此全微分也就为o喽。但是在这个基础上，可以得到Z的全微分。

1年前

可能相似的问题