单摆的摆动周期与什么有关?及其证明

如图,单摆主要受绳子拉力和重力作用,重力作用向下,沿绳子方向的不计（重力沿此方向分力与绳子拉力的合力为向心力,我们只考虑径向的运动,所以只考虑小球运动方向所受的力）,则小球受到的径向的力
f=mgSinα（1）
α为绳子与竖直线夹角
小球相对平衡位置（悬挂点正下方）位移为：
x=lsinα（2）
l为绳子长度
由（1）（2）知,f=mgx/l,与位移x成正比（所以为简谐运动）
相应的
k=f/x=mg/l
则摆动周期
T=2π根号（m/k）=2π根号（l/g）
即：摆动周期与单摆绳长l及当地的重力加速度g有关