绳子的一端固定在光滑桌面中心的铁钉上,另一端有小球,小球在光滑桌面上做匀速圆周运动,当绳子突然断裂

因为能量守恒定律和动量定律.
当物体处于运动状态时,物体本身具有一定的动能,该能量和速度的平方成正比,与质量成正比；此时物体也具备一定的动量,该动量和速度及质量都成正比.
绳子的作用是施加一个改变动量的力：因为是匀速圆周运动,其动量和动能的绝对值不变,但是动量的方向是时时刻刻在变化（总是沿着圆周的切线方向）.
当绳子突然断裂也就是施加给球的改变小球方向的向心力突然消失时（只改变动量的方向,动能和动量的数值的大小不会变）,此时由于能量守恒定律,小球的动能不会变化,动量由于力的消失也不再变化（其绝对值的大小和方向也不会变）.
所以小球一定沿着绳子断裂时刻的运行速度和方向一直运动下去（亦即此刻所在圆周的切线方向）.
（不知道你能不能看懂,因为涉及到更高深的物理知识）