设函数f（x）=ex-ax-2，其导函数为f′（x）．

解题思路：（Ⅰ）求导数，确定切线的斜率，切点的坐标，可得函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）分类讨论，利用导数的正负，可求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当x＞0时，（x-k）f′（x）+x+1＞0等价于k＜

x+1

ex−1

+x（x＞0），令g（x）=

x+1

ex−1

+x，求最值，即可求k的最大值．

（Ⅰ）因为a=1时，f（x）=e^x-x-2，所以f′（x）=e^x-1，f′（0）=-1，
故切线方程是y=-1；…3分
（Ⅱ）f（x）的定义域为R，f′（x）=e^x-a，
若a≤0，则f′（x）＞0，f（x）在R上单调递增； …5分
若a＞0，则f′（x）=0解得x=lna．
当x变化时，f′（x），f（x）变化如下表：

x （-∞，lna） lna （lna，+∞）
f′（x） - 0 +
f（x） 减 极小值 增所以，f（x）的单调减区间是：（-∞，lna），增区间是：（lna，+∞）．…8分
（Ⅲ）由于a=1，所以（x-k）f′（x）+x+1=（x-k）（e^x-1）+x+1．
故当x＞0时，（x-k）f′（x）+x+1＞0等价于k＜
x+1
ex−1+x（x＞0）①…10分
令g（x）=
x+1
ex−1+x，则g′（x）=
ex(ex−x−2)
(ex−1)2．…12分
由（Ⅰ）知，函数f（x）=e^x-x-2在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0，
所以h（x）在（0，+∞）存在唯一的零点．
故g′（x）在（0，+∞）存在唯一的零点．
设此零点为a，则a∈（1，2）．
当x∈（0，a）时，g′（x）＜0；当x∈（a，+∞）时，g′（x）＞0．
所以g（x）在（0，+∞）的最小值为g（a）．
又由g′（a）=0，可得e^a=a+2，所以g（a）=a+1∈（2，3）．
由于①式等价于k＜g（a），故整数k的最大值为2．…14分．

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查函数的单调性，考查函数的最值，正确求导、确定函数的单调性是关键．