已知函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）．

（1）①H（x）=f（x）g（x）=mx²e^x，则H'（x）=mxe^x（x+2）＞0得x＞0或x＜-2，
所以H（x）=f（x）g（x）的单调增区间为（0，+∞），（-∞，-2）．
②当m＞0时，曲线y=f（x）与曲线y=g（x）的公共点个数即方程e^x=mx²根的个数．
由e^x=mx²得[1/m=
x2
ex]设h(x)=
x2
ex，h′(x)=
x(2-x)
ex，
所以在R上不间断的函数h(x)=
x2
ex在（-∞，0）上递减，在（0，2）上递增，在（2，+∞）上递减，
又因为m＞0，h(0)=0，h(2)=
4
e2，h(4)=
16
e4，h(-2)=4e2，
所以当h(2)＜
1
m≤h(-2)时一公共点，解得[1
4e2≤m＜
e2/4]，
当0＜
1
m＜h(4)或[1/m=h(2)时两公共点，解得m=
e2
4]或m＞
e4
16，
当h(4)≤
1
m＜h(2)时三公共点，解得
e2
4＜m≤
e4
16；
（2）设A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））（x₁＜x₂）则kAB=
f(x2)-f(x1)
x2-x1，kD=f′(
x1+x2
2)，
则kAB-kD=
ax2-ax1
x2-x1-a
x1+x2
2•lna=
a
x2+x1
2
x2-x1[a
x2-x1
2-a
x1-x2
2-(x2-x1)lna]，
设
x2-x1
2=t＞0，L（x）=a^t-a^-t-2tlna，则L'（x）=lna（a^t+a^-t-2），
①当a＞1时，a^t＞1，lna＞0，则L'（t）=（lna）（a^t+a^-t-2）＞0，
所以L（t）在（0，+∞）递增，则L（t）＞L（0）=0，
又因为
a
x1+x2
2
x2-x1＞0，所以
a
x1+x_
2
x2-x1•[a
x2-x1
2-a
x1-x2
2-(x2-x1)lna]＞0，
所以k_AB-k_D＞0；
②当0＜a＜1时，0＜a^t＜1，lna＜0
则L'（t）=lna（a^t+a^-t-2）＜0，所以L（t）在（0，+∞）递减，则L（t）＜L（0）=0，
又因为
a
x2+x1
2
x2-x1＞0，所以
a
x2+x1
2
x2-x1[a
x2-x1
2-a
x1-x2
2-(x2-x1)lna]＜0，
所以k_AB-k_D＜0，
综上：当a＞1时k_AB＞k_D；当0＜a＜1时k_AB＜k_D．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、求曲线曲线的斜率等问题，逻辑思维强，考查学生的分析问题，解决问题的能力及运算求解能力，属于难题．