设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B．
设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B．
（1）证明B可逆．
（2）求AB-1．
（1）证明B可逆．
（2）求AB-1．
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解题思路：（1）根据初等变换与初等矩阵的关系，初等矩阵与矩阵乘法的关系，可以写出B=AEij，从而由A可逆，推得B可逆；
（2）由（1）将AB-1求出来即可．
（2）由（1）将AB-1求出来即可．
证明：
（1）
令：Eij表示单位阵中的第i行和第j行对换，
则由题意B=EijA，而Eij是初等矩阵，是可逆的，
又A是可逆的，
根据逆矩阵的乘积依然是可逆的，得：
B=AEij可逆．
（2）
∵B=EijA，
∴B-1=（EijA）-1=A-1•Eij-1=A-1Eij，（Eij的逆矩阵依然为本身）
从而：AB-1=A•A-1Eij=Eij．
点评：
本题考点： 矩阵可逆的充分必要条件．
考点点评： 熟悉初等矩阵和初等变换的关系，初等矩阵与矩阵乘法的关系，以及逆矩阵的运算性质，此题很简单．
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