已知AB是抛物线y^2=2px(p>0)的焦点弦,为抛物线焦点,点A(X1,Y1),B(X2,Y2).求证：以AB为直径

已知AB是抛物线y^2=2px(p>0)的焦点弦,为抛物线焦点,点A(X1,Y1),B(X2,Y2).求证：以AB为直径的圆必与抛物线的准线相切.

lucky00700 1年前已收到2个回答举报

lspy 幼苗

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要证明以AB为直径的圆必与抛物线的准线相切,就要满足圆心O到准线的距离为AB一半(即半径）.
已知A(X1,Y1),B(X2,Y2),设焦点为F
因为抛物线上任一点到焦点的距离等于其到准线的距离
所以AB=AF+BF=X1+P/2+X2+P/2=X1+X2+P
而O为AB的中点,坐标为（X1+X2/2,Y1+Y2/2）
所以O到准线的距离= X1+X2/2+P/2=AB/2
得证

1年前

zhangtie8686 幼苗

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到准线的距离=到焦点的距离，还是抛物线定义的应用。
不知道你是不会还是偷懒。

1年前

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