如图，点C为线段AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰三角形ACD和等腰三角形BC
如图，点C为线段AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰三角形ACD和等腰三角形BCE，CA=CD，CB=CE，∠ACD与∠BCE都是锐角，且∠ACD=∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD相交于点P，连接PC．求证：
（1）△ACE≌△DCB；
（2）∠APC=∠BPC．
（1）△ACE≌△DCB；
（2）∠APC=∠BPC．
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解题思路：（1）由已知可得∠ACE=∠DCB，然后根据SAS即可证明△ACE≌△DCB；
（2）由（1）证得的△ACE≌△DCB可知AE=BD，根据全等三角形的面积相等，从而证得AE和BD边上的高相等，即CH=CG，最后根据角的平分线定理的逆定理即可证得∠APC=∠BPC．
（2）由（1）证得的△ACE≌△DCB可知AE=BD，根据全等三角形的面积相等，从而证得AE和BD边上的高相等，即CH=CG，最后根据角的平分线定理的逆定理即可证得∠APC=∠BPC．
（1）证明：∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠BCE，
∴∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCE中
CA＝CD
∠ACE＝∠DCB
CE＝CB，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
（2）证明：如图，分别过点C作CH⊥AE于H，CG⊥BD于G，
∵△ACE≌△DCB，
∴AE=BD，S△ACE=S△DCB，
∴AE和BD边上的高相等，即CH=CG，
∴∠APC=∠BPC；
点评：
本题考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质．
考点点评： 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角的平分线定理及其逆定理，本题的关键是借助三角形的面积相等求得对应高相等；
1年前
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