如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=-[5/6]x2+[13/6]x+c与y轴交于点D，与x轴负半轴交于点B（-1，0

解题思路：（1）将点B（-1，0）分别代入y=[1/2]x+b与y=-[5/6]x²+[13/6]x+c，即可求得b、c的值；
（2）①由于直线y=[1/2]x+b与抛物线交于A、B两点，所以联立直线y=[1/2]x+b与抛物线的解析式，即可求出点A的坐标；
②过点A作AH⊥y轴于H，先运用勾股定理的逆定理证明出△ABD是等腰直角三角形，∠ADB=90°，再利用圆周角定理得出∠ACD=∠BCD=45°，∠BDC=∠BAC，得到△DBC∽△AEC，则∠DBC=∠AEC，然后在Rt△DBO中利用正切函数的定义即可求出tan∠AEC=tan∠DBC=3；
（3）分三种情况讨论：①旋转后OD在抛物线上；②旋转后OB在抛物线上；③旋转后BD在抛物线上．即可得到有四个不同的旋转中心．

（1）∵一次函数y=[1/2]x+b的图象经过点B（-1，0），
∴0=[1/2]×（-1）+b，
解得b=[1/2]；
∵抛物线y=-[5/6]x²+[13/6]x+c经过点B（-1，0），
∴0=-[5/6]×（-1）²+[13/6]×（-1）+c，
解得c=3；

（2）①[1/2]x+[1/2]=-[5/6]x²+[13/6]x+3，
化简得x²-2x-3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3．
当x=3时，y=2，
∴A（3，2）；
②如图1，过点A作AH⊥y轴于H．
∵A（3，2），B（-1，0），D（0，3），
∴在△ABD中，AB²=（-1-3）²+（0-2）²=20，AD²=（0-3）²+（3-2）²=10，DB²=（-1-0）²+（0-3）²=10，
∴AB²=AD²+DB²，AD=DB，
∴△ABD是等腰直角三角形，∠ADB=90°，
∵△ABD的外接圆⊙M交x轴正半轴于点C，
∴AB为⊙M的直径，∠ACB=90°，∠ACD=∠BCD=45°，
又∵∠BDC=∠BAC，
∴△DBC∽△AEC，
∴∠DBC=∠AEC，
∴tan∠AEC=tan∠DBC=[OD/OB]=[3/1]=3；

（3）分为3种情况，①旋转后OD在抛物线上；②旋转后OB在抛物线上；③旋转后BD在抛物线上．
1、旋转后OD在抛物线上：
设为O′D′，则O′D′平行于x轴，抛物线y=-[5/6]x²+[13/6]x+3=-[5/6]（x-[13/10]）²+[529/120]，对称轴x=[13/10]，
则x₁=[13/10]-[1/2]|OD|=[13/10]-[3/2]=-[1/5]，x₂=[13/10]+

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题考查了一次函数与二次函数图象上点的坐标特征，两函数的交点坐标的求法，勾股定理的逆定理，锐角三角函数，旋转的性质，综合性较强，有一定难度．利用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．