高中数学——证明单调性突然卡住了利用函数的单调性证明f(x)=e^x + (1/e^x) 在区间(0,正无穷)上为单调增

f(x1)=e^x1 + (1/e^x1)
f(x2)=e^x2 + (1/e^x2)
f(x2)-f(x1)=e^x2-e^x1+1/e^x2-1/e^x1
=e^x2-e^x1+(e^x1-e^x2)/e^x2*e^x1
=(e^x2-e^x1)(e^x2*e^x1-1)/e^x2*e^x1
因为01,e^x1>1
所以：e^x2*e^x1>1
所以：e^x2*e^x1-1>0
所以：f(x2)-f(x1)>0
所以:f(x)=e^x + (1/e^x) 在区间(0,正无穷)上为单调增函数

f(x)=e^x + (1/e^x)
令e^x=t 则t∈(1,∞) 且为增函数
f(x)=t+1/t 在(1,∞)是增函数
根据复合函数增减性g(f(x))，当f(x),g(x)均单调增时，g(f(x))也单调增
所以f(x)=e^x + (1/e^x) 在区间(0,正无穷)上为单调增函数

f(x1)-f(x2)
=e^x1+1/e^x1-e^x2-1/e^x2
=(e^x1-e^x2)(e^x1e^x2-1)/e^x1e^x2
因为00 e^x1e^x2>0
所以原式<0
即f(x1)所以f(x)在(0,正无穷) 上单调递增