设函数f（x）=ax 2 +bx+c（a，b，c∈R且a≠0）同时满足下列条件：①f（1）=1；②当x∈R时，恒有f（x

（1）因当x∈R时，恒有f（x）≥x成立，
即ax ² +（b-1）x+c≥0，∴△=（b-1） ² -4ac≤0，且a＞0，①
当x∈R时，恒有f（x-4）=f（2-x）成立，则函数f（x）=ax ² +bx+c和图象的对称轴是x=-1，
即-
b
2a =-1，∴b=2a，②
又f（1）=1，∴a+b+c=1，③
由①②③解得：a=
1
4 ，b=
1
2 ，c=
1
4 ，
∴f（x）的表达式为f（x）=
1
4 x ² +
1
2 x+
1
4 ．
（2）g（x）=4f（x）-4x+2=x ² -2x+3，
假设存在这样的区间[a，b]（a＜b）同时满足下列条件：①g（x）在[a，b]上单调；②若g（x）的定义域是[a，b]，则其值域也是[a，b]．
∵g（x）在[a，b]上单调，∴a≥1或b≤1．
当a≥1时，g（x）在[a，b]上单调增，若g（x）的定义域是[a，b]，则值域为[a ² -2a+3，b ² -2b+3]，
∴

a 2 -2a+3=a
b 2 -2b+3=b ，此方程组无解；
当b≤1时，g（x）在[a，b]上单调减，若g（x）的定义域是[a，b]，则值域为[b ² -2b+3，a ² -2a+3]，
∴

a 2 -2a+3=b
b 2 -2b+3=a ，此方程组无解；
综上可知，不存在这样的区间[a，b]（a＜b）同时满足条件．