已知函数f（x）=2x−12x+1，

解题思路：（1）根据函数f（x）的定义域为R，且f（-x）=-f（x），可得f（x）是奇函数．
（2）根据函数f（x）为奇函数且在R上是增函数，所给的不等式可化为f（x²+4）≥f（-ax）恒成立，即当x＞0时，x²+4≥-ax恒成立，再利用基本不等式求得a的范围．
（3）令g（x）=f（x）-lnx，根据g（1）＞0、g（3）＜0，利用函数零点的判定定理证得结论．

证明：（1）由于函数f（x）的定义域为R，且f(x)＝
2x−1
2x+1＝1−
2
2x+1，
所以f(−x)+f(x)＝(1−
2
2−x+1)+(1−
2
2x+1)＝2−(
2
2x+1+
2
2−x+1)=2−(
2
2x+1+
2•2x
2x+1)＝2−
2(2x+1)
2x+1＝2−2＝0．
即f（-x）=-f（x），所以f（x）是奇函数．
（2）由于f(x)＝
2x−1
2x+1＝1−
2
2x+1在R上是增函数，
∀x∈（0，+∞），不等式f（x²+4）+f（ax）≥0恒成立，
故有 f（x²+4）≥f（-ax）恒成立，即x²+4≥-ax恒成立，
即-a≤
x2+4
x=x+[4/x]．
而 x+[4/x]≥2
x•
4
x=4，故有-a≤4，a≥-4，当且仅当x=2时，等号成立．
即a的取值范围为[-4，+∞）．
（3）令g(x)＝f(x)−lnx＝
2x−1
2x+1−lnx，
因为g(1)＝
21−1
21+1−ln1＝
1
3＞0，g(3)＝
2

点评：
本题考点： 函数奇偶性的判断；函数单调性的性质；函数的零点．

考点点评： 本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，基本不等式、函数零点的判定定理，属于中档题．