已知函数f（x）=lnx+ax+1（a∈R）．

（Ⅰ）∵f（x）=lnx+ax+1（x＞0），
∴f′（x）=[ax+1/x]…（1分）
当a=1时，f′（1）=2，f（1）=2；
故y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y-2=2（x-1），即2x-y=0；…（4分）
（Ⅱ）当a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调增区间是（0，+∞）；
当a＜0时，f′（x）＞0，可得0＜x＜-[1/a]；f′（x）＜0，可得0x＞-[1/a]，
∴f（x）的单调增区间是（0，-[1/a]），单调减区间为（-[1/a]，+∞）；…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x₁）在（0，+∞）上单调递增，
∴f（x₁）＞f（0）=1，
∵g（x）=2^x-1，在[0，1]上单调递增，则g（x₂）≤g（1）=1，
因此，当a≥0时，一定符合题意；…（11分）
当a＜0时，f（x）的单调增区间是（0，-[1/a]），单调减区间为（-[1/a]，+∞），
∴f（x）_max=f（-[1/a]）=ln（-[1/a]）
由题意知，只需满足f（x）_max≥g（x）_max=g（1）=1，
∴ln（-[1/a]）≥1，
∴-[1/e]≤a＜0
综上：a≥-[1/e]．…（14分）

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，正确求导数是关键．