导数 数列等差数列与等比数列的项数相同,且都为正项数列,且有相同的首项,末项,试比较两数列之和的大小,并证明.

设数列{an}首项,末项分别为a1>0,an
则S1=（a1+an)*n/2=na1+1/2n(n-1)d
S2=(a1-anq)/(1-q）=a1*(1-q^n)/(1-q)
其中,a1+(n-1)d=a1q^(n-1) (因为an有相同的末项）
S1-S2
=（a1+an)*n/2-(a1-anq)/(1-q）
=[（a1+an)*n*(1-q）-2(a1-anq)]/2(1-q）
=[a1*n*(1-q）+an*n*(1-q）-2a1+2anq)]/2(1-q）
=[(a1*n+an*n-2a1)-((a1*n+an*n-2an)*q)]/2(1-q）
讨论：
1、如果an>a1.那么数列是单增的,所以,d>0,q>1
所以a1*n+an*n-2an[(a1*n+an*n-2an)-((a1*n+an*n-2an)*q)]/2(1-q）
=(a1*n+an*n-2an)/2
因为n>=2.所以an*n-2an>=0
所以(a1*n+an*n-2an)/2>0,而1-q0
所以S1>S2