（2011•潼南县）如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物

解题思路：（1）由∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，可得A（-1，0）B（4，5），然后利用待定系数法即可求得b，c的值；
（2）由直线AB经过点A（-1，0），B（4，5），即可求得直线AB的解析式，又由二次函数y=x²-2x-3，设点E（t，t+1），则可得点F的坐标，则可求得EF的最大值，求得点E的坐标；
（3）①顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD，可求出点F的坐标（[3/2]，−

15

4

），点D的坐标为（1，-4）由S_{四边形EBFD}=S_△BEF+S_△DEF即可求得；
②过点E作a⊥EF交抛物线于点P，设点P（m，m²-2m-3），可得m²-2m-3=[5/2]，即可求得点P的坐标，又由过点F作b⊥EF交抛物线于P₃，设P₃（n，n²-2n-3），可得n²-2n-2=-[15/4]，求得点P的坐标，则可得使△EFP是以EF为直角边的直角三角形的P的坐标．

（1）由已知得：A（-1，0），B（4，5），
∵二次函数y=x²+bx+c的图象经过点A（-1，0），B（4，5），
∴

1−b+c＝0
16+4b+c＝5，
解得：b=-2，c=-3；

（2）如图：∵直线AB经过点A（-1，0），B（4，5），
∴直线AB的解析式为：y=x+1，
∵二次函数y=x²-2x-3，
∴设点E（t，t+1），则F（t，t²-2t-3），
∴EF=（t+1）-（t²-2t-3）=-（t-
3
2）²+
25
4，
∴当t=
3
2时，EF的最大值为
25
4，
∴点E的坐标为（
3
2，
5
2）；

（3）①如图：顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD．

可求出点F的坐标（
3
2，−
15
4），点D的坐标为（1，-4）
S_{四边形EBFD}=S_△BEF+S_△DEF=
1
2×
25
4×（4-
3
2）+
1
2×
25
4×（
3
2-1）=
75
8；
②如图：

ⅰ）过点E作a⊥EF交抛物线于点P，设点P（m，m²-2m-3）
则有：m²-2m-3=
5
2，
解得：m₁=1+

26
2，m₂=1-

26
2，
∴P₁（1-

26
2，
5
2），P₂（1+

26
2，
5
2），

ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于P₃，设P₃（n，n²-2n-3）
则有：n²-2n-3=-
15
4，
解得：n₁=
1
2，n₂=
3
2（与点F重合，舍去），
∴P₃（
1
2，-
15
4），
综上所述：所有点P的坐标：P₁（1+

26
2，
5
2），P₂（1-

26
2，
5
2

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，四边形与三角形面积问题以及直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用．