设函数f（x）=[ex/a]+[a/ex]，（e为无理数，且e≈2.71828…）是R上的偶函数且a＞0．

解　（1）∵f（x）是R上的偶函数，∴f（-1）=f（1），∴
e−1
a+[a
e−1=
e/a+
a
e]，即 [e−1/a]+[a/e−1]=[e/a]+[a/e]，即[1/ae]-[a/e]=[e/a]-ae．
∴[1/e(
1
a−a)=e（
1
a−a），∴
1
a]-a=0，∴a²=1．
又a＞0，∴a=1．
（2）由上可得f（x）=e^x+e^-x．
由于函数f（x）的导数f′（x）=e^x-[1
ex，当x＞0时，e^x＞1，∴f′（x）=e^x-
1
ex＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数．

点评：
本题考点： 指数函数综合题．

考点点评： 本题主要考查函数的奇偶性的应用，利用导数判断函数的单调性，属于中档题．

1年前

不会用电脑 幼苗

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由f(x)=f(-x)，可得
（a-1/a)(e^2x-1)=0对所有x属于R都成立
因此a-1/a=0
得到a=1。
对f(x)=e^x+1/e^x求导，得到
f‘(x)=e^x-1/e^x，此函数在[0,正无穷]上单调增，因此
f‘(x)>f‘(0)=0，因此
f(x)在(0,正无穷)上单调增

1年前

1

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